Question

3．如图，已知二次函数图象的顶点在原点，直线y=$\frac{1}{2}$x+4的图象与该二次函数的图象交于点A（m，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象的交于点D，与x轴交于点E，设线段PD长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P．使得以点P，E，B为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入直线解析式，可求得m的值，可求得A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，结合直线解析式可求得B点坐标；
（2）由直线和抛物线解析式可分别用t表示出P、D的坐标，则可表示出PD的长，即找到h与t的关系式，由点P在线段AB上可确定出t的取值范围；
（3）可设E点坐标为（n，0），则可用n表示出P点坐标，从而可表示出PB、PE、BE的长度，当△PEB为等腰三角形时，则有PB=PE、PB=BE或PE=BE三种情况，分别可得到关于n的方程，可求得n的值，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵点A（m，8）在直线y=$\frac{1}{2}$x+4上，
∴$\frac{1}{2}$m+4=8，解得m=8，
∴A（8，8），
∵抛物线过原点，
∴可设二次函数的解析式为y=ax²（a≠0），
∵A（8，8）在y=ax²图象上，
∴8=a×8²，解得a=$\frac{1}{8}$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{8}$x²，
∵直线y=x+4与y轴交于点B，
∴令x=0时可得y=4，即B（0，4）；
（2）∵P点在y=$\frac{1}{2}$x+4上，且横坐标为t，
∴P（t，$\frac{1}{2}$t+4），
又PD⊥X轴于E，
∴D（t，$\frac{1}{8}{t}^{2}$），E（t，0），
∵PD=h=PE-DE=（$\frac{1}{2}$t+4）-$\frac{1}{8}{t}^{2}$，
∴h=-$\frac{1}{8}{t}^{2}$+$\frac{1}{2}$t+4，
∵P与A，B不重合且在线段上，
∴0＜t＜8，
即h与t的函数关系式为h=-$\frac{1}{8}{t}^{2}$+$\frac{1}{2}$t+4（0＜t＜8）；
（3）设E（n，0）（0＜n＜8），则P（n，$\frac{1}{2}$n+4），且B（0，4），
∴PB=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{1}{2}n+4-4）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$n，PE=$\frac{1}{2}$n+4，BE=$\sqrt{{n}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+16}$，
若△PEB为等腰三角形，则有PB=PE、PB=BE或PE=BE三种情况，
①当PB=PE时，则有$\frac{\sqrt{5}}{2}$n=$\frac{1}{2}$n+4，解得n=2$\sqrt{5}$+2，此时P点坐标为（2$\sqrt{5}$+2，$\sqrt{5}$+5）；
②当PB=BE时，则有$\frac{\sqrt{5}}{2}$n=$\sqrt{{n}^{2}+16}$，解得n=8（此时P与A重合，不合题意，舍去）或n=-8＜0舍去；
③当PE=BE时，则有$\frac{1}{2}$n+4=$\sqrt{{n}^{2}+16}$，解得n=0（舍去）或n=$\frac{16}{3}$，此时P点坐标为（$\frac{16}{3}$，$\frac{20}{3}$）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（2$\sqrt{5}$+2，$\sqrt{5}$+5）或（$\frac{16}{3}$，$\frac{20}{3}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数与坐标轴的交点、二次函数的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，注意过原点的抛物线线的解析式的形式，在（2）中用t分别表示出P、D的坐标是解题的关键，在（3）中用E点的坐标分别表示出PB、PE和BE的长是解题的关键，注意分三种情况分别讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．