Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；

（3）若抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）点G的坐标为（，）；（3）点P（2，6）或（﹣2，﹣6）．

【解析】

（1）由点A的坐标及OA=OC=4OB,可得出点B,C的坐标, 根据点A,B,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

（2）由二次函数的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴, 由AO的长度结合平行四边形的性质可得出点G的横坐标, 再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点G的坐标;

（3）设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）,结合点A,C的坐标可得出AP2,CP2,AC2的值, 分∠ACP=90°及∠PAC=90°两种情况, 利用勾股定理即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论．

解:（1）∵点A的坐标是（4,0）,

∴OA=4,

又∵OA=OC=4OB,

∴OA=OC=4,OB=1,

∴点C的坐标为（0,4）,点B的坐标为（﹣1,0）.

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）,

将A（4,0）,B（﹣1,0）,C（0,4）代入y=ax2+bx+c,

得,解得:,

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4,

（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4,

∴抛物线的对称轴为直线x=,

∵如图1,动点G在AC上方的抛物线上,且以AG,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点H也在抛物线上,

∴GH∥AO,GH=AO=4,

∵点G,H都在抛物线上,

∴G,H关于直线x=对称,

∴点G的横坐标为,

∵当x=时,y=﹣x2+3x+4=,

∴点G的坐标为（,）．

（3）假设存在,设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）,

∵点A的坐标为（4,0）,点C的坐标为（0,4）,

∴AP2=（m-4）2+（-m2+3m+4-0）2=m4-6m3+2m2+16m+32,

CP2=（m-0）2+（-m2+3m+4-4）2=m4-6m3+10m2,AC2=（0-4）2+（4-0）2=32,

分两种情况考虑,如图2所示,

①当∠ACP=90°时,AP2=CP2+AC2,

即m4-6m3+2m2+16m+32=m4-6m3+10m2+32, 整理得：m2-2m=0,

解得:m1=0（舍去）,m2=2,

∴点P的坐标为（2,6）;

整理得:m2-2m-8=0,解得:m3=-2,m4=4（舍去）,

∴点P的坐标为（-2,-6）．

综上所述,假设成立,抛物线上存在点P（2,6）或（﹣2,﹣6）,使得△ACP是以为直角边的直角三角形．