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    3．已知：等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题：
    （1）在运动过程中，△OPQ的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．
    （2）在等边△OAB的边上（点A除外），是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有4个，请用直尺和圆规在图上画出来．

    分析 （1）根据题意分别表示出QO，OP的长，进而得出S与t的关系式；
    （2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶角顶点，C为顶角顶点，D为顶角顶点，分别讨论，得出答案．

    解答 解（1）如图1，∵OC=AC，∠ACO=120°，
    ∴∠AOC=∠OAC=30°．
    ∴∠POQ=90°，
    ∵OQ=t，OP=3-3t．
    ∴S△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•OP=$\frac{1}{2}$t•（3-3t）=-$\frac{3}{2}$t2+$\frac{3}{2}$t，
    即S=-$\frac{3}{2}$t2+$\frac{3}{2}$t；
    （2）如图2，（i）当D点在OA上，
    ①以D为顶角顶点时，作OC的垂直平分线交OA于D；
    ②以O为顶角顶点时，在OA上截取OD=OC；
    （ii）当D点在OB上，
    由于∠BOC=90°，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形，
    ∴OD=OC，在OB上截取OD=OC．
    （iii）当D点在AB上时，
    此时OD的最短距离为OD⊥AB时，此时OD≠OC，不存在以O为顶点的等腰三角形；
    当以C为顶点时，D点和A点重合，
    当以D为顶点时，OD=CD，作OC的垂直平分线交AB于D；
    综上所述，这样的点D共有4个；
    故答案为：4．

    点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形面积求法等知识，得出△OCD为等腰三角形时，注意分类讨论，做到不重复，不遗漏．

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