Question

16．如图，在边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的弧与以DC为直径的半圆交于点E，连接DE并延长交BC于F，连接BE并延长交DC于G．
（1）求GD：GC的值；
（2）求四边形EFCG的面积．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建直角三角形和平行线，先根据切割线定理得出BF=FC，由勾股定理和面积法依次求出EC、EF、DE的长，根据同角的三角函数相等列式求FH的长，即可得到BH的长，根据平行线分线段成比例定理求出CG和DG的长，计算比值即可；
（2）根据同高两三角形面积的关系分别求出△EFC和△EGC的面积，求和即可．

解答 解：（1）如图，过E作EH⊥BC于H，连接CE，
∵$\widehat{BD}$是以A为圆心，以AB为半径的弧，且四边形ABCD是正方形，
∴BF为⊙A的切线，
∴BF²=EF•DF，
同理：CF是半圆$\widehat{DC}$的切线，
∴CF²=EF•DF，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{D{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵S_△DCF=$\frac{1}{2}$DC•CF=$\frac{1}{2}$DF•EC，
∴1×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$EC，
∴EC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{F{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
DE=DF-EF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{10}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵EH⊥BC，DC⊥BC，
∴EH∥DC，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{EH}{DC}$
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}}{10}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{EH}{1}$，
∴EH=$\frac{1}{5}$，
tan∠FEH=tan∠FDC=$\frac{FC}{DC}=\frac{FH}{EH}$，
∴$\frac{FH}{EH}=\frac{1}{2}$，
∴FH=$\frac{1}{10}$，
∵EH∥GC
∴$\frac{EH}{CG}=\frac{BH}{BC}$，
∴$\frac{\frac{1}{5}}{CG}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{10}}{1}$，
∴CG=$\frac{1}{3}$，
∴DG=CD-CG=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴DG：CG=$\frac{2}{3}$：$\frac{1}{3}$=2：1；
（2）∵$\frac{EF}{DE}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△DCE}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△EFC=$\frac{1}{5}$S_△DCF=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{20}$，
S_△DEC=$\frac{1}{20}$×4=$\frac{1}{5}$，
∵DG：CG=2：1，
∴$\frac{{S}_{△DGE}}{{S}_{△EGC}}$=$\frac{2}{1}$，
∴S_△EGC=$\frac{1}{3}$S_△DEC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{15}$，
∴S_{四边形EFCG}=S_△EFC+S_△EGC=$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{15}$=$\frac{7}{60}$．

点评 本题考查了正方形、圆及圆的切线的性质，运用了切割线定理证明线段相等；本题计算量大，比较麻烦；再求线段比和面积比时，可分别利用平行线分线段成比例定理和勾股定理求线段的长；再求面积比时，常运用同高两三角形面积的比就是对应底边的比．