Question

8．如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且$\sqrt{AB-4}$+|BC-6|=0，点P、Q分别是边AD、AB上的动点．
（1）求BD的长（长度单位是cm）；
（2）如图2，若点P从D点出发，以2cm/s的速度沿DA向点A运动，点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BA向点A运动，P、Q同时出发，一个点到达终点时，两点同时停止运动；设运动时间为x，用含x的代数式表示△CPQ的面积S．
（3）如图3，在BC上取一点E，使EB=1，那么当△EPC是等腰三角形时，请直接写出△EPC的周长．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的长；
（2）根据题意得出BQ=x，PD=2x，AQ=4-x，AP=6-2x，△CPQ的面积S=矩形ABCD的面积-△APQ的面积-△CDP的面积-△BCQ的面积，即可得出结果；
（3）求出CE=6-1=5，分三种情况：
①当CP=CE=5时，作EM⊥AD于M，则AM=EB=1，EM=AB=4，由勾股定理求出PD，得出PM，再由勾股定理求出PE，即可得出△EPC的周长；
②当PE=CE=5时，同①得：△EPC的周长=10+2$\sqrt{5}$；
③当PC=PE时，作PN⊥BC于N，则PN=CD=4，EN=CN=$\frac{1}{2}$CE=2.5，由勾股定理得出PE=PC=$\frac{\sqrt{89}}{2}$，求出△EPC的周长，即可得出结论．

解答 解：（1）连接BD，如图1所示，
∵$\sqrt{AB-4}$+|BC-6|=0，
∴AB=4，BC=6，
∴AD=BC=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$（cm）；
（2）连接CQ、PQ、CP，如图2所示，
根据题意得：BQ=x，PD=2x，AQ=4-x，AP=6-2x
△CPQ的面积S=矩形ABCD的面积-△APQ的面积-△CDP的面积-△BCQ的面积
=6×4-$\frac{1}{2}$×（6-2x）（4-x）-$\frac{1}{2}$×2x×4-$\frac{1}{2}$×6×x
=12-x²（cm²）；
（3）∵BC=6，EB=1，
∴CE=6-1=5，
分三种情况：
①当CP=CE=5时，作EM⊥AD于M，如图3所示，
则AM=EB=1，EM=AB=4，
∵∠D=90°，CD=AB=4，
∴PD=$\sqrt{C{P}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴PM=AD-AM-PD=6-1-3=2，
∴PE=$\sqrt{E{M}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴△EPC的周长=CE+CP+PE=10+2$\sqrt{5}$（cm）；
②当PE=CE=5时，同①得：△EPC的周长=10+2$\sqrt{5}$（cm）；
③当PC=PE时，作PN⊥BC于N，如图4所示，
则PN=CD=4，EN=CN=$\frac{1}{2}$CE=2.5，
∴PE=PC=$\sqrt{P{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+2．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{89}}{2}$，
∴△EPC的周长=CE+PC+PE=5+$\sqrt{89}$（cm）；
综上所述：△EPC的周长为（10+2$\sqrt{5}$）cm或（5+$\sqrt{89}$）cm．

点评 本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、矩形的性质、三角形面积和周长的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要运用勾股定理进行计算和进行分类讨论才能得出结果．