分析 (1)由旋转得到∠BAE=∠DAF,AB=AD,AE=AF,判断出△ABE≌△ADF,再利用互余判断出垂直.
(2)利用直角三角形的性质求出PH,AH,再得到最大PA,
(3)先判断出P在以O圆心,$\sqrt{2}$为半径的圆上,再计算即可.
解答 解:(1)BE=DF,BE⊥DF,如图1,
在△ABE和△ADF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF,
∴BE=DF,∠ABE=∠ADF,
∵∠ABE+∠AGB=90°,
∴∠ADF+∠PGD=90°,
∴∠DPG=90°,
∴BE⊥DF;
(2)如图1,
取EF中点,连接PH,AH,
∵∠EAF=∠FPE=90°,
∴PH=AH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴点P,H,A三点共线时,PA最长为$\sqrt{2}$.
(3)连接BD,取BD中点O,连接OP,OA,如图2,
∵∠BAD=∠BPD=90°,
∴OP=OA=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$,
∴P在以O圆心,$\sqrt{2}$为半径的圆上,
当PA取最大时,PA=OP=OA=$\sqrt{2}$,
点P运动的路径是以O为圆心,以$\sqrt{2}$为半径圆心角是60°的弧的位置,再返回到点A,从另一方向继续以点O为圆心以$\sqrt{2}$为半径旋转60°的弧的位置,再返回,即:4段以点O为圆心,$\sqrt{2}$为半径圆心角是60°的弧的弧长,
∴点P运动的路径长为4×$\frac{\sqrt{2}}{3}$π=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$π.
点评 此题是四边形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角三角形的性质,解本题的关键是作出辅助线.
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