Question

如图，在半径为6的⊙O中，弦AB的长为，
（1）弦AB所对的圆周角．
（2）若⊙O有一条长为的弦CD在圆周上运动，当点C与B重合时，求∠ABD的度数；当点C是的中点时，设CD与AB交于点P，求OP的长．

Answer 1

（1）解：
过O作ON⊥AB于N，连接OA、OB，
由垂径定理得：AN=BN=AB=3，
∵在Rt△ONB中，cos∠OBN==，
∴∠OBN=30°，∠BON=90°-30°=60°，
∵OA=OB，ON⊥AB，
∴∠AOB=2∠BON=120°，
由圆周角定理得：①∠AEB=∠AOB=60°，
②∠AFB=180°-60°=120°，
答：弦AB所对的圆周角是60°或120°．

（2）解：分为两种情况：
过O作OP⊥CD于P，
由垂径定理得：BP=DP=3，
∵在Rt△BPO中，cos∠PBO==，
∴∠PBO=45°，
由（1）知：∠OBN=30°，
∴∠ABD=45°+30°=75°；
当D在D′时，∠ABD=45°-30°=15°；
即∠ABD的度数是15°或75°．
连接OC，OD，OP，
∵C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵AB=6，半径为6，
∴BE=AE=3，
由勾股定理得：OE=3，
∴CE=6-3=3=OC，
∴AB垂直平分OC，
∴OP=PC，
即△OPC是等腰三角形，且OP=PC；
∵CD=6，OC=OD=6，
∴OC²+OD²=CD²，
△COD为等腰直角三角形，
∴∠PCO=45°，
∵△PCO为等腰三角形，
∴∠POC=∠PCO=45°，
∴∠OPC=90°，
即OP⊥CD，
∴在等腰直角△OCD中，DP=CP，
∴CP=CD=3，
∴OP=CP=3
答：∠ABD的度数是15°或75°，OP的长是3．
分析：（1）过O作ON⊥AB于N，连接OA、OB，由垂径定理求出AN=BN=3，根据cos∠OBN=，求出∠OBN、∠BON，求出∠AOB，根据圆周角定理求出∠AEB和∠AFB即可；
（2）过O作OP⊥CD于P，由垂径定理求出BP=DP，根据cos∠PBO求出∠PBO=45°，由（1）知：∠OBN=30°，代入求出即可；连接OC，OD，OP，求出BE=AE=3，由勾股定理求出OE=3，得出AB垂直平分OC，推出△OPC是等腰三角形，求出△COD为等腰直角三角形，推出∠PCO=45°，求出∠OPC=90°即可．
点评：本题综合考查了锐角三角函数定义，勾股定理及逆定理，直角三角形斜边上中线性质，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理和计算的能力，注意：每一步都要进行分类讨论啊．