Question

14．求|3x-5|+|4x-7|+|x-2|+|6x-1|+|40x-8|+|50x+7|的最小值．

Answer 1

分析 分7个区域：（1）当x≤-$\frac{7}{50}$，原式=（-3x+5）+（-4x+7）+（-x+2）+（-6x+1）+（-40x+8）+（-50x-7）=-104x+16，（2）当-$\frac{7}{50}$＜x≤$\frac{1}{6}$时，原式=（-3x+5）+（-4x+7）+（-x+2）+（-6x+1）+（-40x+8）+（50x+7）=-4x+30，（3）当$\frac{1}{6}$＜x≤$\frac{1}{5}$时，原式=（-3x+5）+（-4x+7）+（-x+2）+（6x-1）+（-40x+8）+（50x+7）=8x+28，（4）当$\frac{1}{5}$＜x≤$\frac{5}{3}$时，原式=（-3x+5）+（-4x+7）+（-x+2）+（6x-1）+（40x-8）+（50x+7）=88x+12，（5）当$\frac{5}{3}$＜x≤$\frac{7}{4}$时，原式=（3x-5）+（-4x+7）+（-x+2）+（6x-1）+（40x-8）+（50x+7）=94x+2，（6）当$\frac{7}{4}$＜x≤2时，原式=（3x-5）+（4x-7）+（-x+2）+（6x-1）+（40x-8）+（50x+7）=102x-12，（7）当x＞2，原式=（3x-5）+（4x-7）+（x-2）+（6x-1）+（40x-8）+（50x+7）=104x-16，比较最小值，即可求得答案．

解答 解：（1）当x≤-$\frac{7}{50}$，原式=（-3x+5）+（-4x+7）+（-x+2）+（-6x+1）+（-40x+8）+（-50x-7）=-104x+16，则x=-$\frac{7}{50}$时，有最小值$\frac{764}{25}$；
（2）当-$\frac{7}{50}$＜x≤$\frac{1}{6}$时，原式=（-3x+5）+（-4x+7）+（-x+2）+（-6x+1）+（-40x+8）+（50x+7）=-4x+30，x=$\frac{1}{6}$时，有最小值2$\frac{1}{3}$；
（3）当$\frac{1}{6}$＜x≤$\frac{1}{5}$时，原式=（-3x+5）+（-4x+7）+（-x+2）+（6x-1）+（-40x+8）+（50x+7）=8x+28，没有最小值；
（4）当$\frac{1}{5}$＜x≤$\frac{5}{3}$时，原式=（-3x+5）+（-4x+7）+（-x+2）+（6x-1）+（40x-8）+（50x+7）=88x+12，没有最小值；
（5）当$\frac{5}{3}$＜x≤$\frac{7}{4}$时，原式=（3x-5）+（-4x+7）+（-x+2）+（6x-1）+（40x-8）+（50x+7）=94x+2，没有最小值；
（6）当$\frac{7}{4}$＜x≤2时，原式=（3x-5）+（4x-7）+（-x+2）+（6x-1）+（40x-8）+（50x+7）=102x-12，没有最小值；
（7）当x＞2，原式=（3x-5）+（4x-7）+（x-2）+（6x-1）+（40x-8）+（50x+7）=104x-16，没有最小值．
故|3x-5|+|4x-7|+|x-2|+|6x-1|+|40x-8|+|50x+7|的最小值是2$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查了绝对值的最值问题．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．