Question

已知（a+

1

b

）²-2（a+

1

b

）-3=0，且a＞0，b＞0．求证：

b

ab+1

=

1

3

．

Answer 1

考点：换元法解一元二次方程

专题：证明题

分析：先设x=a+

1

b

，则原方程变形为x²-2x-3=0，运用因式分解法解得x₁=-1，x₂=3，再把x=-1和3分别代入x=a+

1

b

得到a+

1

b

=-1和a+

1

b

=3，根据题意即可证得结论；

解答：解：设x=a+

1

b

，
原式变形为x²-2x-3=0，
（x+1）（x-3）=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
当x=-1时，a+

1

b

=-1，
因为a＞0，b＞0．所以a+

1

b

=-1不成立，
当x=3时，a+

1

b

=3，
所以a+

1

b

=

ab+1

b

=3，
所以

b

ab+1

=

1

3

．

点评：本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．