Question

12．如图，△ABC中，AB=AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠E=30°，AD=1，BD=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，∠OCE=∠E，推出∠ACO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠CFO=30°，解直角三角形得到DF=$\sqrt{3}AD$=$\sqrt{3}$，EF=3OE=4$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接CO，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠E，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°，
∴∠B+∠E=90°，
∴∠ACB+∠OCE=90°，
∴∠ACO=90°，
∴AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠E=30°，
∴∠OCE=30°，
∴∠FCE=120°，
∴∠CFO=30°，
∴∠AFD=∠CFO=30°，
∴DF=$\sqrt{3}AD$=$\sqrt{3}$，
∵BD=5，∴DE=5$\sqrt{3}$，
∵OF=2OC，
∴EF=3OE=4$\sqrt{3}$，
∴OE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即⊙O的半径=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．