如图1.已知线段AB长为6.点A在x轴负半轴.B在y轴正半轴.绕A点顺时针旋转60°.B点恰好落在x轴上D点处.点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．(1)求点C.点D的坐标并用尺规作图确定两点位置(2)如图2.若半径为1的⊙P从点A出发.沿A-B-D-C以每秒4个单位长的速度匀速移动.同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加.运动到点C时运动停止.当运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．
（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）
（2）如图2，若半径为1的⊙P从点A出发，沿A-B-D-C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，
①t为何值时，⊙P与y轴相切？
②在整个运动过程中⊙P与x轴有公共点的时间共有几秒？简述过程．
（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？

考点：圆的综合题,平行四边形的性质,切线的性质,扇形面积的计算,特殊角的三角函数值

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）由题可知：AD=AB=6，∠DAB=60°，再根据条件就可求出OB及BC的长，从而得到点C和点D的坐标．以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴交点即为点D；以点D为圆心，AB为半径画弧，以点B为圆心，AD为半径画弧，两弧的交点即为点C．
（2）①分点P在AB、BD、DC上三种情况讨论，然后在直角三角形中运用特殊角的三角函数值建立方程，就可解决问题；
②只需求出三个临界位置（点P分别在AB、BD、DC上，且⊙P与x轴相切）对应的t的值，就可解决问题．
（3）过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，采用割补法将S_阴影转化为S_弓形AR+S_△OHB+S_扇形OBB′-S_扇形OHH′-S_△OH′B′就可解决问题．

解答：解：（1）由题可知：AD=AB=6，∠DAB=60°．
∵∠AOB=90°，∴AO=3，OB=3

．
∴OD=AD-OA=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6．
∴点C的坐标为（6，3

），点D的坐标为（3，0）．
作法：①以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴交点即为点D；
②以点D为圆心，AB为半径画弧；以点B为圆心，AD为半径画弧，两弧的交点即为点C．
如图1所示．

（2）①Ⅰ．点P在AB上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，如图2，

∵⊙P与y轴相切，∴PE=r=1+0.5t．
在Rt△PEB中，
∵∠PBE=90°-60°=30°，PB=6-4t，PE=1+0.5t，
∴6-4t=2（1+0.5t）．
解得：t=

．
Ⅱ．点P在BD上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，如图3，

同理可得：t=

．
Ⅲ．点P在DC上时，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图4，

则有DP=4t-12．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDF=∠BAO=60°．
∴∠DPF=30°．
∴DF=2t-6．
∴OF=3+2t-6=2t-3．
若⊙P与y轴相切，则OF=r=1+0.5t．
∴2t-3=1+0.5t．
解得：t=

．
此时点P不在DC上，故舍去．
∴当t取

秒或

秒时，⊙P与y轴相切．
②Ⅰ．点P在AB上，且⊙P与x轴相切于点F时，连接PF，如图5，

则有PF⊥OA，即∠PFA=90°．
在Rt△AFP中，
∵PF=1+0.5t，AP=4t，∠PAF=60°，
∴sin∠PAF=

1+0.5t

．
解得；t=

．
Ⅱ．点P在BD上，且⊙P与x轴相切于点F时，连接PF，如图6，

同理可得：t=

146-20

．
Ⅲ．点P在DC上，且⊙P与x轴相切于点F时，连接PF，如图7，

同理可得：t=

146+20

．
∴t=

146+20

146-20

．
∴在整个运动过程中⊙P与x轴有公共点的时间共有

秒．

（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的图形如图8所示，

过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，如图所示，
则有OH=OA•sin∠HAO=3×

．
同理可得：OH′=

．
∵S_弓形AR=S_扇形OAR-S_正△OAR=

60π×32

360

×3×

3π

．
S_扇形OBB′=

90π×(3

360

27π

，
S_扇形OHH′=

90π×(

360

27π

．
S_△OHB=S_△OH′B′
∴S_阴影=S_弓形AR+S_△OHB+S_扇形OBB′-S_扇形OHH′-S_△OH′B′
=S_弓形AR+S_扇形OBB′-S_扇形OHH′
=

3π

27π

105π-36

．
∴线段AB扫过的面积是

105π-36

．

点评：本题考查了切线的性质、平行四边形的性质、扇形的面积公式、特殊角的三角函数值、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，还考查了分类讨论及割补法等数学思想方法，有一定的难度．而正确分类及合理割补是解决本题的关键，是一道易错题．

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