【题目】如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,交⊙O于点P,点B是⊙O上一点,连接BP并延长,交直线l于点C,使得AB=AC.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)PC=2 ,OA=4. ①求⊙O的半径;
②求线段PB的长.
【答案】
(1)证明:连结OB,如图,
∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∵OA⊥AC,
∴∠2+∠3=90°,
∵OB=OP,
∴∠4=∠5,
而∠3=∠4,
∴∠5+∠2=90°,
∴∠5+∠1=90°,即∠OBA=90°,
∴OB⊥AB,
∴AB是⊙O的切线;
(2)解:①作OH⊥PB于H,如图,则BH=PH,
设⊙O的半径为r,则PA=OA﹣OP=4﹣r,
在Rt△PAC中,AC2=PC2﹣PA2=(2 )2﹣(4﹣r)2,
在Rt△OAB中,AB2=OA2﹣OB2=42﹣r2,
而AB=AC,
∴(2 )2﹣(4﹣r)2=42﹣r2,解得r=1,
即⊙O的半径为1;
②∵⊙O的半径为1
∴PA=3,
∵∠3=∠4,
∴Rt△APC∽Rt△HPO,
∴ = ,即 = ,
∴PH= ,
∴PB=2PH= .
【解析】(1)连结OB,如图,由等腰三角形的性质得∠1=∠2,∠4=∠5,由OA⊥AC得∠2+∠3=90°,加上∠3=∠4,易得∠5+∠1=90°,即∠OBA=90°,于是根据切线的判定定理可得AB是⊙O的切线;(2)作OH⊥PB于H,如图,根据垂径定理得到BH=PH,设⊙O的半径为r,则PA=OA﹣OP=4﹣r,根据勾股定理得到AC,AB,然后根据相似三角形的性质即可得到结论.
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【题目】体育委员把全班45名同学的体育锻炼时间,并绘制了如图所示的折线统计图,则全班45名同学一周的体育锻炼总时间的众数和中位数分别是( )
A.9,9
B.9,10
C.18,9
D.18,18
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【题目】某厂去年的总产值比总支出多500万元,而今年计划的总产值比总支出多950万元.已知今年计划总产值比去年增加15%,而今年计划总支出比去年减少10%.求今年计划的总产值和总支出各为多少.
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【题目】已知两个分别含有30°,45°角的一副直角三角板.
(1)如图1叠放在一起
若OC恰好平分∠AOB,则∠AOD= 度;
若∠AOC=40°,则∠BOD= 度;
(2)如图2叠放在一起,∠AOD=4∠BOC,试计算∠AOC的度数.
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【题目】如图,已知在△ABC中,AD、BD分别平分∠CAG、∠EBA,AD∥BC,BD交AC于F,连接CD,
(1)求证:AB=AC.
(2)当∠EBA的大小满足什么条件时,以A,B,F为顶点三角形为等腰三角形?
(3)猜想∠BDC与∠DAC之间的数量关系式,并说明理由.
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【题目】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,直线l过点M(3,0)且平行于y轴.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标.
(2)如果点P的坐标是(﹣a,0),其中a>0,点P关于y轴的对称点是P1,点P1关于直线l的对称点是P2,求P1P2的长.(用含a的代数式表示)
(3)通过计算加以判断,PP2的长会不会随点P位置的变化而变化.
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【题目】一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(2,﹣6),且与反比例函数y=﹣ 的图象交于点B(a,4)
(1)求一次函数的解析式;
(2)将直线AB向上平移10个单位后得到直线l:y1=k1x+b1(k1≠0),l与反比例函数y2= 的图象相交,求使y1<y2成立的x的取值范围.
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