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【题目】如图1,矩形ABCD中,∠ACB30°,将△ACDC点顺时针旋转α0°<α360°)至△A'CD'位置.

1)如图2,若AB2α30°,求SBCD

2)如图3,取AA′中点O,连OBOD′、BD′.若△OBD′存在,试判定△OBD′的形状.

3)当αα1时,OBOD′,则α1   °;当αα2时,△OBD′不存在,则α2   °.

【答案】13;(2)△OBD′是直角三角形;(390°或270°,240°或300°.

【解析】

1)作D'EBCE,由直角三角形的性质得出BC=2CE=CD'=1D'E=,由三角形面积公式即可得出答案;
2)连接OC,证明ABCO四点共圆,由圆周角定理得出∠BOC=BAC=60°,同理A'D'CO四点共圆,得出∠D'OC=D'A'C=30°,证出∠BOD'=90°即可;
3)若BCD'三点不共线,证出BC=CD,这与已知相矛盾,得出BCD'三点共线;当α=α1时,OB=OD′,分两种情况:当点D'BC的延长线上和当点D'在边BC上;当α=α2时,△OBD′不存在时,分两种情况:当OD'重合时,当OB重合时,由等腰三角形的性质和等边三角形的性质即可得出答案.

解:(1)作D'EBCBC的延长线于E,如图2所示:

则∠E=90°,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°,ABCDADBCCD=AB=2

∴∠ACD=∠BAC,∠DAC=∠ACB=30°,

∵∠ACB=30°,

BC=AB=2,∠ACD=∠BAC=60°,

由旋转的性质得:CD'=CD=2,∠ACA'=30°,

∴∠D'CE

∴∠CD'E

CE=CD'=1D'E=CE=

SBCD=BC×D'E=×2×=3

2)△OBD′是直角三角形,理由如下:

连接OC,如图3所示:

由旋转的性质得:CA'=CA,∠A'D'C=∠ADC=90°,∠D'A'C=∠DAC=30°,

OAA′的中点,

OCAA'

∴∠AOC=∠A'OC==∠ABC=∠A'D'C

∴∠ABC+AOC=180°,

ABCO四点共圆,

∴∠BOC=∠BAC=60°,

同理;A'D'CO四点共圆,

∴∠D'OC=∠D'A'C=30°,

∴∠BOD'=90°,

∴△BOD'是直角三角形;

3)若BCD'三点不共线,如图3所示:

由(2)得:∠OBC=∠OAC,∠OD'C=∠OA'C,∠OAC=∠OA'C

∴∠OBC=∠OD'C

OB=O D'

∴∠OBD'=∠OD'B

∴∠CBD'=∠CD'B

CB=CD'

CD'=CD

BC=CD,这与已知相矛盾,

BCD'三点共线;

分两种情况:当点D'BC的延长线上时,如图4所示:

∵∠ACB,∠A'CD'=∠ACD

∴∠AC A'

α=α1

当点D'在边BC上时,如图5所示:

∵∠ACB,∠A'CD'=∠ACD

∴∠AC A'

α=α1

故答案为:90°或270

α=α2时,△OBD′不存在时,分两种情况:

OD'重合时,如图6所示:

CA'=CA,∠CAD'=∠CA'D'=

∴∠ACA'=120°,

α=α2

OB重合时,如图7所示:

AA'=2AB=4

CA=CA'=2AB=4=AA'

∴△ACA'是等边三角形,

∴∠A'CA=60°,

α=α2

故答案为:240°或300

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