【题目】如图1,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将△ACD绕C点顺时针旋转α(0°<α<360°)至△A'CD'位置.
(1)如图2,若AB=2,α=30°,求S△BCD′.
(2)如图3,取AA′中点O,连OB、OD′、BD′.若△OBD′存在,试判定△OBD′的形状.
(3)当α=α1时,OB=OD′,则α1= °;当α=α2时,△OBD′不存在,则α2= °.
【答案】(1)3;(2)△OBD′是直角三角形;(3)90°或270°,240°或300°.
【解析】
(1)作D'E⊥BC于E,由直角三角形的性质得出BC=2,CE=CD'=1,D'E=,由三角形面积公式即可得出答案;
(2)连接OC,证明A、B、C、O四点共圆,由圆周角定理得出∠BOC=∠BAC=60°,同理A'、D'、C、O四点共圆,得出∠D'OC=∠D'A'C=30°,证出∠BOD'=90°即可;
(3)若B、C、D'三点不共线,证出BC=CD,这与已知相矛盾,得出B、C、D'三点共线;当α=α1时,OB=OD′,分两种情况:当点D'在BC的延长线上和当点D'在边BC上;当α=α2时,△OBD′不存在时,分两种情况:当O与D'重合时,当O与B重合时,由等腰三角形的性质和等边三角形的性质即可得出答案.
解:(1)作D'E⊥BC交BC的延长线于E,如图2所示:
则∠E=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AB∥CD,AD∥BC,CD=AB=2,
∴∠ACD=∠BAC,∠DAC=∠ACB=30°,
∵∠ACB=30°,
∴BC=AB=2,∠ACD=∠BAC=60°,
由旋转的性质得:CD'=CD=2,∠ACA'=30°,
∴∠D'CE,
∴∠CD'E,
∴CE=CD'=1,D'E=CE=,
∴S△BCD′=BC×D'E=×2×=3;
(2)△OBD′是直角三角形,理由如下:
连接OC,如图3所示:
由旋转的性质得:CA'=CA,∠A'D'C=∠ADC=90°,∠D'A'C=∠DAC=30°,
∵O是AA′的中点,
∴OC⊥AA',
∴∠AOC=∠A'OC==∠ABC=∠A'D'C,
∴∠ABC+∠AOC=180°,
∴A、B、C、O四点共圆,
∴∠BOC=∠BAC=60°,
同理;A'、D'、C、O四点共圆,
∴∠D'OC=∠D'A'C=30°,
∴∠BOD'=90°,
∴△BOD'是直角三角形;
(3)若B、C、D'三点不共线,如图3所示:
由(2)得:∠OBC=∠OAC,∠OD'C=∠OA'C,∠OAC=∠OA'C,
∴∠OBC=∠OD'C,
∵OB=O D',
∴∠OBD'=∠OD'B,
∴∠CBD'=∠CD'B,
∴CB=CD',
∵CD'=CD,
∴BC=CD,这与已知相矛盾,
∴B、C、D'三点共线;
分两种情况:当点D'在BC的延长线上时,如图4所示:
∵∠ACB=,∠A'CD'=∠ACD=,
∴∠AC A',
∴α=α1;
当点D'在边BC上时,如图5所示:
∵∠ACB=,∠A'CD'=∠ACD=,
∴∠AC A'=,
∴α=α1;
故答案为:90°或270;
当α=α2时,△OBD′不存在时,分两种情况:
当O与D'重合时,如图6所示:
∵CA'=CA,∠CAD'=∠CA'D'=,
∴∠ACA'=120°,
∴α=α2;
当O与B重合时,如图7所示:
则AA'=2AB=4,
∵CA=CA'=2AB=4=AA',
∴△ACA'是等边三角形,
∴∠A'CA=60°,
∴α=α2;
故答案为:240°或300.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】学校为了提高学生跳远科目的成绩,对全校500名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练。王老师为了了解学生的训练情况,强化训练前,随机抽取了该年级部分学生进行跳远测试,经过一个月的强化训练后,再次测得这部分学生的跳远成绩,将两次测得的成绩制作成图所示的统计图和不完整的统计表(满分10分,得分均为整数).
根据以上信息回答下列问题:
(1)训练后学生成绩统计表中,并补充完成下表:
(2)若跳远成绩9分及以上为优秀,估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了多少?
(3)经调查,经过训练后得到9分的五名同学中,有三名男生和两名女生,王老师要从这五名同学中随机抽取两名同学写出训练报告,请用列表或画树状图的方法,求所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知,ACB和DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90,连接AE、BD交于点O. AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图①,求证:AE=BD;
(2)如图②,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中四对全等的直角三角形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形.
(1)从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点;
(2)说出两个函数图象的性质的相同点与不同点.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在等边△ABC中,D为AB上一点,连接CD,在CD上取一点E,连接BE,且∠BED=60°,若CE=5,△ACD的面积为,则线段DB的长为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,CE是ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:
①四边形ACBE是菱形;
②∠ACD=∠BAE;
③AF:BE=2:3;
④S四边形AFOE:S△COD=2:3.
其中正确的结论有_____.(填写所有正确结论的序号)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,点E是直线AD上的动点,将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF,连接EF、CF、AF.
(1)如图1,当点E在线段AD上时,猜想∠AFC和∠FAC的数量关系;(直接写出结果)
(2)如图2,当点E在线段AD的延长线上时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明你的结论,若不成立,请写出你的结论,并证明你的结论;
(3)点E在直线AD上运动,当△ACF是等腰直角三角形时,请直接写出∠EBC的度数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为减少环境污染,提高生产效率,公司计划对A、B两类生产线全部进行改造.改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元;改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元.
(1)改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元?
(2)公司计划今年对A,B两类生产线共6条进行改造,改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担.若今年公司自筹的改造资金不超过320万元;国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元,其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元.请你通过计算求出有几种改造方案?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com