Question

一位祖籍扬州的台商，应市政府的邀请，回乡考察投资环境，谁知家乡的变化竟让他迷路了．他驱车在一条东西走向的公路上由西向东缓慢地前行着．车载GPS（全球卫星定位系统）显示（如图），市政府所在地（点C）在其（点A）南偏东45°的方向上，相距4km．他继续向东前进到达点B的位置，发现市政府所在地在其南偏西60°的方向上．
（1）试求该台商由西向东行进的路程AB是多少千米（结果保留根号）；
（2）在台商行驶的公路南侧有两条与之平行，且距离这条公路分别约是0.5km的向阳大道和3km的兴宝大道，请估算市政府所在地靠近哪条大道？

Answer 1

【答案】分析：（1）过点C作CD⊥AB于D，利用已知条件分别求得AD、BD的长，那么AB的长就得到了．
（2）让0.5与3分别与CD作差，哪个绝对值小就越靠近其对应的大道．
解答：解：（1）如图，由题意，可知AC=4，∠DAC=45°，∠ABC=30°，
过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，∵AC=4，∠DAC=45°，
∴AD=AC•cos∠DAC=4×=，CD=AD=，
在Rt△BCD中，∵CD=，∠ABC=30°
∴BD=CD•cot∠ABC=×=2，
∴AB=AD+BD=+2
∴该台商由西向东前进了（+2）千米；

（2）∵-0.5＞3-
∴市政府所在地靠近兴宝大道．
点评：本题以投资商迷路为背景，考查学生对应用问题的数学化、数学建模思想的掌握情况．解题的关键是将实际问题转化成解直角三角形问题，同时本题还考查了学生估算的技能．