Question

如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

A
分析：根据三角形的中线的概念、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理以及全等三角形的判定和性质进行分析判断．
解答：①∵CB是三角形ACE的中线，
∴AE=2AB，又AB=AC，∴AE=2AC．故此选项正确；
②取CE的中点F，连接BF．
∵AB=BE，CF=EF，
∴BF∥AC，BF=AC．
∴∠CBF=∠ACB．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC．
∴∠CBF=∠DBC．
又CD是三角形ABC的中线，
∴AC=AB=2BD．
∴BD=BF．
又BC=BC，
∴△BCD≌△BCF，
∴CF=CD．
∴CE=2CD．
故此选项正确．
③若要∠ACD=∠BCE，则需∠ACB=∠DCE，又∠ACB=∠ABC=∠BCE+∠E=∠DCE，则需∠E=∠BCD．
根据②中的全等，得∠BCD=∠BCE，则需∠E=∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故此选项错误；
④根据②中的全等，知此选项正确．
故选A．
点评：此题的知识综合性较强，同时注意利用成立的结论得到新的结论．