Question

5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线$y=kx-\sqrt{3}k+3$交y轴正半轴于点A，交x轴于点B（如图1）
（1）不论k取何值，直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；
（2）当OC⊥AB时，求出此时直线AB的解析式；
（3）如图2，在（2）条件下，若D为线段AB上一动点（不与端点A、B重合），经过O、D、B三点的圆与过点B垂直于AB的直线交于点E，求△DOE面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据经过定点与k值无关，可得k的系数等于零，可得点的坐标；
（2）根据待定系数法可得OC的解析式，根据垂线间的关系，可得直线AB一次項的系数，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据锐角三角函数，可得∠ABO，根据圆内接四边形的性质，可得∠DOE+∠DBE=180°，根据互为余角两角的关系，可得∠DOE的度数，根据圆周角定理，可得∠DEO=∠ABO，根据锐角三角函数，可得OD与OE的关系，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据点到直线的距离最小，可得答案．

解答 解：（1）$C（\sqrt{3}，3）$；

（2）设OC的解析式为y=kx，
将C点坐标代入，得
k=$\frac{y}{x}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
直线OC解析式为$y=\sqrt{3}x$．
设AB的解析式为y=k₁x+b，
由OC⊥AB，得$\sqrt{3}$k₁=-1，
解得k₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，将C点坐标代入，得
-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+b=3，
解得b=4，
直线AB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4；

（3）当x=0时，y=4，即A（0，4），当y=0时，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4=0解得x=4$\sqrt{3}$，即B（4$\sqrt{3}$，0；
tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°．
∵O、D、B、E四点共圆
∴∠DOE+∠DBE=180°
又∵AB⊥BE，
∴∠ABE=90°，
∴∠DOE=90°．
∵∠DEO=∠ABO=30°，
在Rt△DOE中，tan∠DEO=tan30°=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$∴OE=$\sqrt{3}$OD，
∴S_△DOE=$\frac{1}{2}$OD•OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OD²，
∴当OD⊥AB时，△DOE的面积最小，即点D与点C重合，
此时OD=OC=2$\sqrt{3}$
∴S_△DOE最小=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$）²=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用函数与k值无关得出一次項的系数相等是解题关键；（2）利用待定系数法求函数解析式，又利用了垂线间的关系：一次项系数的乘积为-1；（3）利用了锐角三角函数，圆内接四边形的性质，圆周角定理，点与直线上各点的连线中垂线段最短．