Question

14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的中线，将三角尺的直角顶点置于中线AD上点P处，三角尺的两条直角边分别交AB、AC边于点E、F．求证：PE=PF．

Answer 1

分析 过点P作PK∥BC交AB于点K，可证明△AFP≌△KEP，可得PE=PF．

解答 证明：
过点P作PK∥BC交AB于点K，如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的中线，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠EKP=∠B=∠BAP=∠PAF=45°，
∴AP=PK，
∵∠EPF=∠KPA=90°，
∴∠EPK+∠EPA=∠EPA+∠FPA，
∴∠EPK=∠FPA，
在△AFP和△KEP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAP=∠EKP}\\{AP=KP}\\{∠FPA=∠EPK}\end{array}\right.$
∴△AFP≌△KEP（ASA），
∴PE=PF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件构造三角形全等是解题的关键．