Question

18．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，且BE⊥CE．若矩形的周长为18cm，求矩形各边的长．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AB=CD，AD=BC，∠A=∠ABC=∠D=90°，由SAS证明△ABE≌△DCE，得出BE=CE，证出△BEC是等腰直角三角形，得出∠EBC=45°，∠ABE=45°，得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=AE，AD=BC=2AB，再由矩形的周长即可求出矩形各边的长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠ABC=∠D=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{∠A=∠D}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，
∴AD=BC=2AB，
∵矩形的周长为18cm，
∴AB+AD=9cm，
即AB+2AB=9cm，
∴AB=CD=3cm，AD=BC=6cm．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．