Question

30、对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：
||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．其中真命题的个数为（　　）

A、0

B、1

C、2

D、3

Answer 1

分析：弄清新命题的运算规则，设出各点坐标，代入关系式计算，根据计算结果进行判断．

解答：解：①若点C在线段AB上，设点C（x₀，y₀）那么x₀在x₁，x₂之间．
y₀在y₁，y₂之间||AC||+||CB||=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=||AB||正确；
②平方后不能消除x₀，y₀，命题不成立；
③在△ABC中||AC||+||CB||=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|＞|x₀-x₁+y₀-y₁+x₂-x₀+y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=||AB||，③正确．
故选C．

点评：本题是利用新运算与绝对值的结合，应注意点C的不同位置．