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如图，已知抛物线y=-x²+bx+9-b²（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DE⊥x轴于点C．
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；
②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断井说明理由．

解：（1）由题意，代入原点到二次函数解析式
则9-b²=0，
解得b=±3，
由题意抛物线的对称轴大于0，
$\text{[math]}$ ，
所以b=3，
所以解析式为y=-x²+3x；

（2）设A点横坐标为m，则 $\text{[math]}$ ＞m＞0，
AB=3m-m²，BC=2（ $\text{[math]}$ -m）=3-2m，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（-m²+m+3）=-2m²+2m+6．
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，则
3m-m²＞0且为整数，3-2m＞0且为整数，
∴m=1．
∴矩形ABCD的周长=-2m²+2m+6=6；
②∵矩形ABCD的周长=-2m²+2m+6=-2（m²-m）+6=-2（m²-m+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+6=-2（m- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当m= $\text{[math]}$ 时，有最大值= $\text{[math]}$ ，
此时点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，m= $\text{[math]}$ ，
此时，矩形ABCD的面积=AB•BC=（3m-m²）（3-2m）= $\text{[math]}$ ，不是最大值．
∵当m= $\text{[math]}$ 时，矩形ABCD的面积=（3m-m²）（3-2m）=1.6875×1.5=2.53125＞ $\text{[math]}$ ．
∴当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．
分析：（1）已知抛物线过原点，代入求得b值而求出二次函数解析式；
（2）设A点横坐标为m，则 $\text{[math]}$ ＞m＞0，AB=3m-m²，BC=3-2m，矩形ABCD的周长=-2m²+2m+6．
①根据线段AB、BC的长都是整数个单位长度及 $\text{[math]}$ ＞m＞0，确定m的值，从而求出矩形ABCD的周长；
②将-2m²+2m+6配方，根据二次函数的性质，得出矩形ABCD的周长的最大值，并求出此时点A的坐标；
③将矩形ABCD的周长取得最大值时的m的值代入它的面积表达式AB•BC=（3m-m²）（3-2m）中，计算出其值为2.5，然后在 $\text{[math]}$ ＞m＞0的范围内找到一个m= $\text{[math]}$ 时，矩形ABCD的面积=2.53125＞ $\text{[math]}$ ，从而得到当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点

C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）

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（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件

-2＜x＜0

时，y＜-3；
②若D（m，y₁），E（2，y₂）是抛物线上两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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