Question

2．在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．
（1）如图1，当点B，A，D在同一直线上时，且∠ABE=30°，AE=2，求BF的长．
（2）如图2，当∠BEA=90°时，求证：BF=CF．
（3）如图3，当点E在∠ABC的平分线上时，BE交DC于点G，请直接写出EG、DG、CG之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先根据直角三角形30°角的性质得：BE=2AE=4，由△ADE是等腰直角三角形，计算DE的长，同时得
△BDF也是等腰三角形，设BF=x，Rt△BEF中，由勾股定理列方程解出x的值即可；
（2）如图2，连接AF，先证明△ADC≌△AEB，得∠ADC=∠AEB=90°，证明∠ADE=∠ACB=45°，可知A、F、C、D四点共圆，根据四点共圆的性质：圆内接四边形的对角互补得：∠ADC+∠AFC=180°，则∠AFC=90°，由等腰三角形三线合一得：BF=CF；
（3）结论：DG+EG=$\sqrt{2}$CG，作辅助线，构建直角三角形和正方形，首先证明四边形ANGM是正方形，由A、G、C、B四点共圆，推出∠AGO=∠ACB=45°，再利用四点共圆的性质推出CG=AG，由△AMD≌△ANE，推出NG=MG，可得EG+DG=$\sqrt{2}$CG．

解答 （1）解：∵∠BAC=90°，∠ABE=30°，AE=2，
∴BE=2AE=4，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$AE=2$\sqrt{2}$，
∵△ABC也是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ADE=45°，
∴∠DFB=90°，BF=DF，
设BF=x，则EF=DF-DE=x-2$\sqrt{2}$，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：${4}^{2}={x}^{2}+（x-2\sqrt{2}）^{2}$，
解得：x₁=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，x₂=$\sqrt{2}-\sqrt{6}$（舍），
∴BF=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$；
（2）证明：如图2，连接AF，
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵△AED和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠ACB=45°，
∴A、F、C、D四点共圆，
∴∠ADC+∠AFC=180°，
∴∠AFC=90°，
∴AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=CF；
（3）解：如图3，DG+EG=$\sqrt{2}$CG，理由是：
过A作AN⊥BG于G，作AM⊥CD于M，连接AG，
同理得：△ABE≌△ACD，
∴∠ABO=∠ACD，
∴A、B、C、G四点共圆，
∴∠AGB=∠ACB=45°，∠OGC=∠BAO=90°，
∴∠BGD=90°，
∴∠NGA=∠AGD=45°，
∴AN=AM，
∵AD=AE，
∴Rt△ANE≌Rt△AMD（HL），
∴EN=DM，
∵∠ANG=∠NGD=∠AMG=90°，
AN=AM，
∴四边形ANGM是正方形，
∴NG=GM，
∵A、B、C、G四点共圆，
∴∠GAC=∠GBC，∠ACG=∠ABG，
∵∠ABG=∠GBC，
∴∠GAC=∠ACG，
∴AG=CG，
∵△ANG是等腰直角三角形，
∴AG=$\sqrt{2}$NG，
∴CG=AG=$\sqrt{2}$NG，
∵EG+DG=EN+NG+MG-DM=NG+MG=2NG=2×$\frac{CG}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$CG．

点评 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，本题的难点是，四点共圆的应用，属于中考压轴题．