Question

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：∠CFE=∠AFE；

（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，

则：

解得

∴ 此抛物线的解析式为

（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.

∵抛物线的解析式可变形为

∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.

设直线AC的解析式为,

则有，解得.

∴  直线AC的解析式为

当x=4时，

∴点E的坐标为（4，4），

∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）

设直线FC的解析式为,

则有，解得.

∴  直线AC的解析式为

∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.

当y=6时，则有解得x=8.

∴AM=8,MN=AM—MN=4[来源:Zxxk.Com]

∴AN=MN

∵FN⊥AM

∴∠ANF=∠MNF

又NF=NF

∴△ANF≌△MNF

∴∠CFE=∠AFE

（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）

∴

∵又A的坐标为（0，6），则，

又DF=6，

若△AFP∽△DEF

∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，

又由（2）可知∠DFC=∠AFE

∴∠PAF=∠DFC

若△AFP1∽△FCD

则,即,解得P1A=8.

∴O P1=8－6=2

∴P1的坐标为（0，－2）

若△AFP2∽△FDC

则,即,解得P2A=.

∴O P2=－6=.

∴P2的坐标为（0，－）

所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.

【解析】（1）用待定系数法，知道抛物线上的三个点的坐标，可以用一般式来求解析式

（2）求证角相等，可以利用全等三角形或找中间量或放在等腰三角形里，本题通过构造两个全等的三角形来解决

（3）题目出现“使△AFP与△FDC相似”，肯定需要分情况讨论，由于∠PAF=∠DFC，

只有两种情况①△AFP∽△FCD②△AFP∽△FDC