Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=8，DC=10，点M是AB边的中点．
（1）求证：CM⊥DM；
（2）求点M到CD边的距离．

Answer 1

分析：（1）延长DM，CB交于点E，证△ADM≌△BEM，推出AD=BE=2，DM=EM，求出CE=CD即可；
（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F，证矩形ADFB，推出AD=BF，AB=DF，根据勾股定理求出DF，计算出MB，根据角平分线性质求出即可．

解答：证明：（1）延长DM，CB交于点E．（如图）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM，
∵点M是AB边的中点，
∴AM=BM．
在△ADM与△BEM中，
∠ADM=∠BEM，
∠AMD=∠BME，
AM=BM，
∴△ADM≌△BEM，
∴AD=BE=2，DM=EM，
∴CE=CB+BE=8+2=10，
∵CD=10，
∴CE=CD，
∵DM=EM，
∴CM⊥DM．

解：（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．（如图）
∵CE=CD，DM=EM，
∴CM平分∠ECD．               
∵∠ABC=90°，即MB⊥BC，
∴MN=MB．
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，
∵∠DFB=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=2，AB=DF，
∴FC=BC-BF=8-2=6，
∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴DF²=DC²-FC²=10²-6²=64．
∴DF=8，
∵M为AB中点，BM=MN，AB=DF，
∴MN=MB=

1

2

AB=

1

2

DF=4，
即点M到CD边的距离为4，
答：点M到CD边的距离是4．

点评：本题主要考查对直角梯形，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．