Question

【题目】如图，点P( x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b时，有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”．

例如，点P(x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2，并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”．

（1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”，并说明理由；

（2）若函数y = x2 - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）是，理由见解析；（2）

【解析】

（1）通过构建函数，根据一次函数的性质可得出该函数在0≤x≤2上单调递增，分别代入x=0、x=2即可得出y的取值范围，由此即可得出结论；

（2）由函数y=x2-x与y = x - a在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数，根据抛物线在0 ≤ x ≤ 2函数的取值范围，令其最大值≤1、最小值≥-1，解关于a的不等式组即可得出结论．

解：（1）是“相邻函数”．

理由如下：，构造函数．

在上随着的增大而增大，

当时，函数有最大值1，当时，函数有最小值，即.

．

即函数与在上是“相邻函数”．

（2），构造函数．

，顶点坐标为

又抛物线的开口向上，

当时，函数有最小值，

当或时，函数有最大值，即，

函数与在上是“相邻函数”，

，即，

．