Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠ABC=60°，D是BC边上的点，CD＝1，将△ACD沿直线AD翻折，点C恰好落在直线AB的边上的E处，若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长最小值是____________ .

Answer 1

【答案】

【解析】

根据折叠和等腰三角形性质得出，E关于AD的对称点为C，即当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．

解：∵沿AD折叠C和E重合，

∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，

∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，

∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，

∵∠DEA=90°，

∴∠DEB=90°，

∵∠ABC=60°，DE=1，

∴BE=，BD=，即BC=，

∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=+=，

故答案为：.