Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形内一点，以BC为斜边作直角三角形BCE，又以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且∠EBF=90°，连接AF．
（1）求证：AF=CE；
（2）求证：AF∥EB；
（3）若AB=，，求点E到BC的距离．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∵∠FBE=90°，
∴∠FBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠FBA=∠EBC，
∵在△FBA和△EBC中，
，
∴△FBA≌△EBC（SAS），
∴AF=CE；

（2）由（1）知△FBA≌△EBC，
∴∠FAB=∠ECB，
又∵∠EBC=∠ABE（都是∠EBC的余角），
∴∠FAB=∠ABE，
∴AF∥EB；

（3）∵，
∴设BE=x，CE=3x，
则 6x²+9x²=（5）²
解得：x=
∴BE=，CE=3
由面积相等得 BE•CE=BC•h，
解得 h=3，
∴点E到BC的距离为 3．
分析：（1）根据正方形的性质和已知条件证明△FBA≌△EBC，即可得到AF=CE；
（2）由（1）知△FBA≌△EBC，所以∠FAB=∠ECB，再证明∠FAB=∠ABE，即可证明AF∥EB；
（3）设BE=x，CE=3x，根据勾股定理 6x²+9x²=（5）²，解方程求出x的值，再根据面积定值即可求出点E到BC的距离．
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．