Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，顶点为D，连结AC，BC．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；

（2）判断三角形ABC的形状，并说明理由；

（3）如图2，点P是该抛物线在第一象限内上的一点．

①过点P作y轴的平行线交BC于点E，若CP=CE，求点P的坐标；

②连结AP交BC于点F，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+4，顶点D坐标为（3，）；（2）三角形ABC是直角三角形，理由详见解析；（3）①P（4，6）；②．

【解析】

(1)设抛物线的解析式为y=a（x+2)(x-8)，将点C的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴方程，将x=3代入可求得抛物线的顶点坐标.

(2)根据三角形ABC是直角三角形，求得AC2+BC2=AB2，即可利用勾股定理进行证明.

(3)①如图1所示：作CM⊥PE，垂足为M．先利用待定系数法求得BC的解析式，

设点P（m，﹣ m2+m+4），则点E（m，﹣ m+4)﹐M(m，4)，接下来依据等腰三角形的性质可得到PM=EM，从而得到关于m的方程，于是可求得点P的坐标.

②作PN⊥BC，垂足为N．先证明△PNE△COB，由相似三角形的性质可知PN与PE的关系，然后再证明△PFN△CAF，由相似三角形的性质可得到PF：AF与m的函数关系式，从而可求得最大值.

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣8）．

∵抛物线经过点C（0，4），

∴﹣16a=4，解得a=﹣．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣8）=x2+x+4．

∵A（﹣2，0）、B（8，0），

∴抛物线的对称轴为x=3．

∵将x=3代入得：y=，

∴抛物线的顶点D坐标为（3，）．

（2）三角形ABC是直角三角形，理由如下：

∵AB=10，AC=2，BC=4，

∴AC2+BC2=AB2．

∴∠BCA=90°，所以三角形ABC是直角三角形.

(3) ①如图1所示：作CM⊥PE，垂足为M．

设直线BC的解析式为y=kx+b．

∵将B、C的坐标代入得：，解得k=﹣，b=4，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．

设点P（m，﹣ m2+m+4），则点E（m，﹣ m+4），M（m，4）．

∵PC=EC，CM⊥PE，

∴PM=EM．

∴﹣m2+m+4﹣4=4﹣（﹣m+4），解得：m=0（舍去），m=4．

∴P（4，6）．

②作PN⊥BC，垂足为N．

由①得：PE=﹣m2+2m．

∵PE∥y轴，PN⊥BC，

∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．

∴△PNE∽△BOC．

∴=．

∴PN=PE=（﹣m2+2m）．

由（2）知∠BCA=90°，

又∵∠PFN=∠CFA，

∴△PFN∽△CAF．

∴=﹣m2+m．

∴当m=4时，的最大值为．