Question

2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则BC：CA：AB=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}+1$）．

Answer 1

分析 由三角形的内角和定理，求三个角的度数；运用三角函数定义求解．

解答 解：设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
由三角形的内角和定理得：3x+4x+5x=180°，
解得x=15°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
过点C作CD⊥AB，
∴△ADC为等腰直角三角形，
设CD=AD=x，则AC=$\sqrt{2}$x，
∵∠B=60°，CD⊥AB，
∴BC=$\frac{CD}{sin60°}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}x$，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∴AB=x+$\frac{\sqrt{3}}{3}x$=（1$+\frac{\sqrt{3}}{3}$）x，
∴BC：CA：AB=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}x$）：（$\sqrt{2}$x）：[（1$+\frac{\sqrt{3}}{3}$）x]=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}+1$）
故答案为：2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}+1$）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形的性质，求出∠A、∠B，∠C的度数，运用三角函数是解答此题关键．