Question

已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=6，cosC=

1

4

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接OM．根据OB=OM，得∠1=∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1=∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=3，再根据解直角三角形的知识求得AB=12，则OA=12-r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．

解答：（1）证明：连接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；

（2）解：设圆的半径是r．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=

1

4

，
∴AB=BE÷cosB=12，则OA=12-r．
∵OM∥BE，
∴

OM

BE

=

OA

AB

，
即

r

3

=

12-r

12

，
解得r=2.4．
则圆的直径是4.8．

点评：此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．