Question

如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，图象过点A（x₁，0），-3＜x₁＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③b²＞4ac；④a-b＞m（ma+b）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=-1计算2a+b与偶的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，对称轴为x=-

b

2a

=-1，得2a=b，
∴a、b同号，即b＜0，
∴abc＞0；
故本选项正确；
②∵对称轴为x=-

b

2a

=-1，得2a=b，
∴2a+b=4a，且a≠0，
∴2a+b≠0；
故本选项错误；
③从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△=b²-4ac＞0，即b²＞4ac；
故本选项正确；
④图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=-1，能得到：a＜0，c＞0，-

b

2a

=-1，
∴b=2a，
∴a-b=a-2a=-a，m（ma+b）=m（m+2）a，
假设a-b＞m（am+b），（m≠1的实数）
即-a＞m（m+2）a，
所以（m+1）²＞0，
满足题意，所以假设成立，
故本选项正确；
⑤∵-3＜x₁＜-2，
∴根据二次函数图象的对称性，知当x=1时，y＜0；
又由①知，2a=b，
∴a+b+c＜0；
∴

1

2

b+b+c＜0，
即3b+2c＜0；
故本选项错误．
综上所述，①③④共有3个正确的．
故选B．

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．