Question

如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE²=PH•PQ．

Answer 1

考点：四点共圆,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：首先利用连接CH并延长交AB于K，连接EQ，得出∠CQH=∠CEH=Rt∠，进而得出C、H、E、Q四点共圆，即可得出△EPH∽△QPE，得出PE²=PH•PQ．

解答：证明：连接CH并延长交AB于K，连接EQ，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴H是△ABC的垂心，
∴CK⊥AB，
∵∠CEH=∠BKH，∠EHC=∠KHB，
∴∠3=∠4，
∵∠AEB=Rt∠，P是AB的中点，
∴EP=BP，∴∠1=∠4，
∴∠1=∠3，
∵∠CQH=∠CEH=Rt∠，
∴C、H、E、Q四点共圆，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠EPH=∠QPE，
∴△EPH∽△QPE，
∴

PE

PH

=

PQ

PE

，
∴PE²=PH•PQ．

点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出C、H、E、Q四点共圆是解题关键．