Question

6．如图，⊙O中弦AB⊥弦CD于E，延长AC、DB交于点P，连接AO、DO、AD、BC．
（1）求证：∠AOD=90°+∠P；
（2）若AB平分∠CAO，求证：AD=AB；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，PB=$\frac{15}{4}$，求弦BC的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可知∠AOD=2∠ACD，结合三角形的外角的性质可得到∠AOD=2∠CDP+2∠P，接下来，依据∠CAE=∠CDP，可将∠AOD转化为∠CDP、∠CAE、2∠P，最后根据∠CAE+∠CDP+∠P=90°可证得问题的答案；
（2）延长AO交BD与点F．首先证明∠AFB=∠AEC=90°，接下来，再证明△AFD≌△ADB，由全等三角形的性质可得到AB=AD；
（3）延长AO交BD与点G交⊙O与点F，连结BF、OB．依据弧、弦、弦心距之间的关系可知BC=FB，接下来，证明OB∥AP，依据平行线分线段成比例定理可知$\frac{GB}{BP}=\frac{OG}{OA}$，故此可得到$\frac{BG}{OG}$=$\frac{3}{4}$，在△OBG中由勾股定理可得到OG=4，BG=3，从而可求得GF=1，在Rt△BGF中，由勾股定理得可求得BF的长，于是得到BC的长．

解答 解：（1）∵∠CDP+∠P=∠ACD，∠AOD=2∠ACD，
∴∠AOD=2∠CDP+2∠P．
∵∠CAE=∠CDP，
∴∠AOD=∠CDP+∠CAE+∠P+∠P
∵AB⊥CD，
∴∠CAE+∠ACD=90°．
∴∠CAE+∠CDP+∠P=90°．
∴∠AOD=90°+∠P．
（2）如图1所示：延长AO交BD与点F．

∵AB平分∠CAO，
∴∠CAE=∠BAF．
又∵∠ACE=∠ABF，
∴△ACE∽△ABF．
∴∠AFB=∠AEC=90°．
∴AF⊥BD．
∴FD=BF．
在△ABF和△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠AFD=∠AFB}\\{DF=FB}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△ADB．
∴AB=AD．
（3）延长AO交BD与点G交⊙O与点F，连结BF、OB．

∵∠CAB=∠OAB，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BF}$．
∴BC=FB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∴∠CAB=∠OBA．
∴OB∥AP．
∴$\frac{GB}{BP}=\frac{OG}{OA}$．
∴$\frac{GB}{OG}=\frac{PB}{OA}$=$\frac{3}{4}$．
设OG=4k，GB=3k．
在△OBG中，由勾股定理可知：（4k）²+（3k）²=25．
解得：k=1（负值已舍去）．
∴OG=4，BG=3．
∴GF=1．
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴BC=$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用、三角形单位外角的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．