Question

善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；
（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；
（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最
大？

Answer 1

（1）由图1，设y=kx（k≠0）．当x=1时，y=2，
解得k=2
∴y=2x（0≤x≤20）

（2）中的收益量y与反思时间x的函数关系必须分段：
由图2，当0≤x＜4时，设y=a（x-4）²+16（a≠0），
由已知，当x=0时，y=0
∴0=16a+16，
∴a=-1
∴y=-（x-4）²+16即y=-x²+8x
当4≤x≤10时，y=16．
因此，当0≤x＜4时，y=-（x-4）²+16；
当4≤x≤10时，y=16．

（3）设小迪用于回顾反思的时间为x（0≤x≤10）分钟，学习收益总量为y，
则她用于解题的时间为（20-x）分钟．
当0≤x＜4时，y=-x²+8x+2（20-x）=-（x-3）²+49
∵a=-1＜0
∴函数有最大值，
当x=3时，有最大值49；
当4≤x≤10时，y=16+2（20-x）=56-2x，y随x的增大而减小，
因此当x=4时，有最大值48．
综合以上，当x=3时，有最大值49，此时20-x=17．
即小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习的总收益量最大．