Question

8．已知如图，抛物线y=x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若A（-1，0），且OC=3OA
（1）求抛物线的解析式
（2）若M点为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC、CM、MB，求四边形MBAC面积的最大值
（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方．若∠NBD=∠DCA，试求E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A点和C点坐标代入y=x²+mx+n中得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
（2）先解方程x²-2x-3=0得到B（3，0），A（-1，0），设M（m，m²-2m-3），过点M作MQ∥y轴交BC于Q，如图1，则Q（m，m-3），用m表示出MQ，接着根据二次函数的性质得到当m=$\frac{3}{2}$时，MN有最大值$\frac{9}{4}$，则S_△BCM的最大值为$\frac{27}{8}$，从而得到S_{四边形MBAC}的最大值；
（3）作DH⊥BN于H，如图2，证明Rt△BDH∽Rt△C，利用相似比得到BH=3DH，再证明△BON和△DHN为等腰直角三角形，则DH=HN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DN，所以3$\sqrt{2}$+DH=3DH，解得DH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，于是DN=$\sqrt{2}$DH=3，从而得到D（0，6），接下来利用待定系数法求出直线BD的解析式y=-2x+6，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$即可得到E点坐标．

解答 解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，OC=3OA=3，
∴C（0，-3），
将A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+mx+n中，得$\left\{\begin{array}{l}{1-m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）令y=0，则x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），A（-1，0），
∴直线BC的解析式为y=x-3，
当△BCM的面积最大时，四边形MBAC的面积最大
设M（m，m²-2m-3），
过点M作MQ∥y轴交BC于Q，如图1，则Q（m，m-3），
∴MQ=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，MN有最大值$\frac{9}{4}$，
∴S_△BCM的最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$，
∴S_{四边形MBAC}的最大值为6+$\frac{27}{8}$=$\frac{75}{8}$；
（3）作DH⊥BN于H，如图2，
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴OA=1，OC=3，
∵∠NBD=∠DCA，
∴Rt△BDH∽Rt△CAO，
∴$\frac{DH}{AO}$=$\frac{BH}{AC}$，即$\frac{DH}{1}$=$\frac{BH}{3}$，即BH=3DH，
∵直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，
∴ON=OC=3，
∴△BON为等腰直角三角形，
∴BN=3$\sqrt{2}$，∠BNO=45°，
∴∠DNH=45°
∴△DHN为等腰直角三角形，
∴DH=HN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DN，
∴3$\sqrt{2}$+DH=3DH，解得DH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴DN=$\sqrt{2}$DH=3，
∴D（0，6），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把D（0，6），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{3k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式y=-2x+6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴E（-3，12）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；会利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质．