Question

15．如图，?ABCD中已知E、F分别是BC、AD的中点，且AB⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 先利用平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，再由E、F分别是BC、AD的中点易得AF∥CE，AF=CE，则可判断四边形AECF为平行四边形，再利用直角三角形斜边上的中线性质得AE=EC，于是可根据菱形的判定方法得到结论．

解答 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF∥CE，AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
而E为BC的中点，
∴BE=AE=EC，
∴四边形AECF是菱形．

点评 本题考查了菱形的判断：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的性质．