分析 (1)先证明△OBD≌△OAE得到OD=OE,∠B=∠A,再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠BOD=2∠B,然后根据三角形内角和定理计算∠B的度数;
(2)作DH⊥BC于H,如图,利用圆周角定理得∠F=90°,则根据勾股定理得到BF=8,再根据垂径定理得到BD=DF=4,则可计算出OD=3,所以OE=3,接着利用面积法计算出DH=$\frac{12}{5}$,然后在Rt△ODH中利用勾股定理计算出OH,最后利用勾股定理计算出DE的长.
解答 解:(1)在△OBD和△OAE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠ODB=∠OEA}\\{∠BOD=∠AOE}\\{OB=OA}\end{array}\right.$,
∴△OBD≌△OAE,
∴OD=OE,∠B=∠A,
∵AE=DE,OD=OE,
∴∠ADE=∠A,∠ODE=∠OED,
∴∠ADE=∠B,
∵∠BOD=∠ODE+∠OED=2∠ODE,
∴∠BOD=2∠B
∴∠B+2∠B=90°,
∴∠B=30°;
(2)作DH⊥BC于H,如图,
∵BC为直径,
∴∠F=90°,
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8,
而OD⊥BF,
∴BD=DF=4,
在Rt△ODB中,OD=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3,
∴OE=3,
∵$\frac{1}{2}$DH•OB=$\frac{1}{2}$OD•BD,
∴DH=$\frac{12}{5}$,
在Rt△ODH中,OH=$\sqrt{{3}^{2}-(\frac{12}{5})^{2}}$=$\frac{9}{5}$,
∴HE=OH+OE=$\frac{9}{5}$+3=$\frac{24}{5}$,
∴DE=$\sqrt{D{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{24}{5})^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.
点评 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和勾股定理.
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A. | 67 | B. | 53 | C. | 50 | D. | 49 |
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