Question

【题目】在菱形中，对角线与交于点，，，点是对角线上一点（可与，重合），以点为圆心，为半径作（其中）．

（1）如图1，当点与重合，且时，过点，分别作的切线，切点分别为，．求证：；

（2）如图2，当点与点重合，且在菱形内部时（不含边界），求的取值范围；

（3）当点为或的内心时，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）连接，，则AM=AN，根据切线的性质可得90°，据此通过“HL”证明Rt△BMA与Rt△DNA全等，最后利用全等三角形性质证明结论即可；

（2）当点与点重合，在菱形内部时，过点P作于点，根据菱形的性质可得，，由此进一步利用勾股定理计算出，最后通过结合题意进一步分析求解即可；

（3）如图，当点为内心时，过作于，作于，则有，连接、，根据求出此时圆的半径，从而根据直接计算即可，然后当点为的内心时，按照相同的方法进一步求解即可.

（1）

如图，连接，，则AM=AN，

∵，分别是的切线，

∴90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∴在Rt△BMA与Rt△DNA中，

∵，，

∴，

∴；

（2）

如图，当点与点重合，在菱形内部时，过点P作于点，

在菱形中，，，

∴，，

∴，

∴，

由，得，

解得：，

∴当点与点重合，且在菱形内部时，的取值范围是：；

（3）AP长为或．

如图，当点为内心时，过作于，作于，

则有，连接、，

则有，

由菱形性质可得：AB=AD=BC=CD=5，AO=OC=3，BO=OD=4，

∴，

解得：，

则；

当点为的内心时，同理可得，

综上所诉，或．