Question

某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限). 另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD. 已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米.长方形ABCD 的面积为 S平方米.
(1)求 S与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围). 当 x为何值时, S取得最值(请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值；
(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆. 其圆心分别为和, 且到 AB、BC、AD 的距离与到 CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面. 以方便同学们参观学习. 当(1)中 S取得最大值时.请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行.请说明理由.

Answer 1

解：(1) S = x (120 - 2x) = - 2+1800，
当 x=30 时.S取最大值为 1800.
(2)如图所示. 过、分别作到 AB、BC、AD和CD、BC、AD的垂线. 垂足如图，
根据题意可知. E=F= J =G= H = I；
当 S取最大值时，AB= CD=30，BC=60，

所以，F=J =G=I=AB=15，
∴E= H= 15∴ = EH -E-H = 60-15-15=30  
∴两个等圆相外切. 其半径为 15. 而此时 AD和BC 与两圆相切. 不能留 0.5米的平直路面.