Question

4．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以BC为直径作⊙O交AB于点D．

（1）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由
（2）过O作BC的垂线交⊙O于F点，交AB于G点，求tan∠FBG．

Answer 1

分析 （1）连接OD，CD，根据直角三角形的性质得到ED=EC，由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD．推出∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，于是得到结论；
（2）过G作GH⊥BF于H，根据勾股定理得到AB=5，推出△BOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到OF=$\frac{1}{2}$BC=2，∠F=45°，得到△HFG是等腰直角三角形，根据三角形的中位线的性质得到OG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）当点E是AC的中点时，直线ED与⊙O相切，
理由如下：连接OD，CD，
∵DE是Rt△ADC的中线．
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD．
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∴ED与⊙O相切；

（2）过G作GH⊥BF于H，
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵OF⊥BC，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=2，∠F=45°，
∴△HFG是等腰直角三角形，
∵OG⊥BC，∠C=90°，
∴OG∥AC，
∴OG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$，
∴HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴BH=$\sqrt{B{G}^{2}-G{H}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴tan∠FBG=$\frac{HG}{HB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{7\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查的是切线的判定定理、解直角三角形的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．