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如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.

(1)求证:DE与⊙O相切;

(2)若⊙O的半径为,DE=3,求AE的长.

答案:
解析:

  分析:(1)欲证“DE与⊙O相切”,因为点E在⊙O上,如果结论成立,则点E肯定是切点,所以只需连接OE,证明OE⊥ED即可;(2)利用△ABE∽△ACB可求AE的长.

  解:(1)连接OE、BE,

  因为AB是直径,

  所以BE⊥AC.

  因为D是BC的中点,

  所以DE=DB.

  所以∠DBE=∠DEB.

  又OE=OB,∠OBE=∠OEB,

  所以∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB,

  即∠ABD=∠OED.

  又∠ABC=90°,所以∠OED=90°.

  所以DE是⊙O的切线.

  (2)因为DE=3,所以BC=2DE=6.

  所以AC==4

  又△ABE∽△ACB,所以

  所以AE=

  点评:证明切线时,条件中给出了直线与圆的公共点,但未给出过这点的半径,则连接公共点和圆心,然后根据“经过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理进行证明.口诀是“连半径,证垂直.切线判断很简单,认真审题是关键”.


练习册系列答案
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8、如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕A逆时针旋转后,能够与△ACP′重合,如果AP=3,那么PP′2的长等于(  )

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面短文:
如图①,△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB(如图②)精英家教网精英家教网
解答问题:
(1)设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2,则S1
 
S2(填“>”“=”或“<”).
(2)如图③,△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画
 
个,利用图③把它画出来.
(3)如图④,△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出
 
个,利用图④把它画出来.
(4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么?

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)精英家教网
①作△ABC的外接圆,圆心为O;
②以线段AC为一边,在AC的右侧作等边△ACD;
③连接BD,交⊙O于点E,连接AE,
(2)综合与运用:在你所作的图中,若AB=4,BC=2,则:
①AD与⊙O的位置关系是
 

②线段AE的长为
 

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,△ABC是直角边长为4的等腰直角三角形,直角边AB是半圆O1的直径,半圆O2过C点且与半圆O1相切,则图中阴影部分的面积是(  )

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如图,△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.
(1)求AD的长;
(2)求△AEC的面积.

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