Question

在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD=AO，点E为OA中点．
（1）若DE⊥CD，CD=6，AD=2

5

，求DE的长度； 
（2）证明：CD=2DE．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：几何图形问题,数形结合

分析：（1）由平行四边形ABCD中，点E为OA中点，可求得CE的长，又由DE⊥CD，利用勾股定理即可求得DE的长度； 
（2）首先取AD的中点F，连接OF，易证得△ADE≌△AOF，即可得OF=DE，又由三角形的中位线的性质，证得CD=2DE．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵点E为OA中点，AD=AO，AD=2

5

，
∴OE=

5

，OC=2

5

，
∴CE=OE+OC=3

5

，
∵DE⊥CD，CD=6，
∴DE=

CE2-CD2

=3；

（2）证明：取AD的中点F，连接OF，
∵AD=AO，点E为OA中点，
∴AE=AF，
在△ADE和△AOF中，

AD=AO ∠EAD=∠EAO AE=AF

，
∴△ADE≌△AOF（SAS），
∴DE=OF，
∵OA=OC，AF=DF，
∴CD=2OF，
∴CD=2DE．

点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．