Question

（9分）如图，在中，AC、BD交于点O，∠ABC=60°,AB=1,E、F分别是线段BO、DO上不与点O重合的点，且BE=DF．

小题1:（1）探究：当BC的长为多少时，四边形AECF是菱形？并说明理由．
小题2:（2）当四边形AECF是正文形时，求DF的长．

Answer 1

小题1:（1）当BC=1时，四边形AECF是菱形.理由如下：………………（1分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，………………（2分）
∵BE=DF，
∴OB―BE=OD―DF，
即OE=OF，……………………（3分）
∴四边形AECF是平行四边形，……（4分）
当BC=AB=1时，平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
即AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形.
小题2:（2）由于正方形是特殊的菱形，由（1）知，此时四边形ABCD和AECF均为菱形.
∵∠ABC=60°，AB=1，AC⊥BD，
∴△ADC和△ABC均为等边三角形，且AO=CO=，BO=DO=.………（8分）
当四边形AECF是正方形时，EO=FO=AO=CO=，
∴DF=DO－FO=－=

略