Question

【题目】如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．

（1）若AP，求DE的长；

（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；

（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）AP；（3）FG＝31．

【解析】

(1)如图，过点A，作AH//BC，交CD的延长线于点H，在Rt△AHE中求出AE，即可求解；
(2)设：AP=x，利用△APE∽△PEC，得出PC2=CEAP，利用勾股定理得出PC2=PB2+BC2，即可求解；
(3)利用△ADE∽△FGE，得到3α=45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比，即可求解．

解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠C＝180°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，

∴四边形AHCB是矩形，

∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，

∴DH＝CH﹣CD＝2，

∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，

∴∠HAD＝∠HDA＝45°

∴HD＝AH＝2，AE＝AP，

根据勾股定理得，HE3，则ED＝1；

（2）连接CP，设AP＝x．

∵AB∥CD，

∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，

∴△APE∽△PEC，∴，

即：PE2＝AECE，

而EC＝2PB＝2（5﹣x），

即：PC2＝CEAP＝2（5﹣x）x，

而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，

∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，

解得：x（不合题意值已舍去），

即：AP；

（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．

设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，

则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，

∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，

由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，

在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，

在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，

∴HE＝AHtan∠HAE＝2，

∴DE＝HE﹣HD＝22，

EC＝HC﹣HE＝5﹣2，

∵△ADE∽△FGE，

∴∠ADC＝∠EGF＝135°，

则∠CEG＝45°，

∴EGEC＝52，

∴，

即：，

解得：FG＝31．