Question

已知：如图，点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点，D为BC边上任意一点．
操作：在图中作OE⊥OD交AC于E，连接DE．
问题：（1）观察并猜测，无论∠DOE绕着点O旋转到任何位置，OD和OE始终有何数量关系？（直接写出答案）______．
（2）如图所示，若BD=2，AE=4，求△DOE的面积．
（说明：如果经过思考分析，没有找到解决（2）中的问题的方法，请直接验证（1）中猜测的结论）

Answer 1

解：（1）作图
连接OC，如下图
∵OC=OB，∠ACO=∠B=45°，∠BOD=∠COE
则△COE≌△BOD
∴OD=OE；

（2）连接OC，先证△OBD≌△OEC
∵BD=2，AE=4，
∴得到CE=BD=2，
∴CD=AE=4，∴在Rt△CDE中，DE=
作OF⊥DE，
在Rt△DOE中，∴OF²=DF•EF，
∴OF=
S=•DE•OF=•=5
∴△ODE的面积为5．
分析：（1）可连接OC，求△COE≌△BOD则△DOE为等腰三角形，可得OD=OE，
（2）第二问中求出△DOE的高OF及一底边长DE即可，代入面积公式求解面积．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的性质及判定；正确作出辅助线是解答本题的关键．