考点:相切两圆的性质,扇形面积的计算
专题:几何综合题,数形结合
分析:(1)连接PD,AO1,O1O2,过P作两圆的切线,交AB于M,根据切线性质和等腰三角形性质得出∠BAP=∠MPA,∠MPB=∠MBP,即可求出答案;
(2)求出CD2=CP•CA,证△DBP∽△DAB,推出CB2=CP•CA,即可得出答案;
(3)过点O1作AN∥O1O2交O2B于点N,求出四边形AO1O2N是平行四边形,推出NA=O1O2=1+3=4,AO1=NO2=1,求出BN=2,在Rt△ABN中,由勾股定理求出AB,根据扇形和梯形的面积公式求出即可.
解答:证明:(1)连接PD,AO
1,O
1O
2,过P作两圆的切线,交AB于M,
∵BD是圆O
2的直径,
∴∠BPD=90°,
又∵AB是两圆的外公切线,A,B为切点,
∴∠BAP=∠MPA,∠MPB=∠MBP,
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°,
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°;
(2)∵∠APD=180°.
∴A,P,D三点共线
∵CD切圆O
1于点D,∴CD
2=CP•CA,
在△ABC中,∠CAB=90°,又∵BP⊥AD,
∴∠DPB=∠DBA=90°,∠BDP=∠BDA,
∴△DBP∽△DAB,
∴CB
2=CP•CA,
故CD=CB;
(3)解:过点O
1作AN∥O
1O
2交O
2B于点N,
∵⊙O
1与⊙O
2外切于点C,AB为两圆外公切线,切点为A,B,⊙O
1的半径为1,⊙O
2的半径为3,
∴四边形AO
1O
2N是平行四边形,
∴NA=O
1O
2=1+3=4,AO
1=NO
2=1,
∴BN=3-1=2,
在Rt△ABN中,由勾股定理得:AB=
=2
,
∴sin∠ANB=
=
=
,
∴∠ANB=60°,
∴∠BO
2P=60°,
∴∠AO
1P=180°-60°=120°,
∴S
阴影=S
梯形O1ABO2-S
扇形AO1P-S
扇形BO2P=
×(1+3)×2
-
-
=4
-
π.
点评:此题考查了相切两圆的性质、梯形的性质、勾股定理以及三角函数的性质,此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.