Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形AOBC，AO=2，BO=3，函数的图象经过点C．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）将矩形AOBC分别沿直线AC，BC翻折，所得到的矩形分别与函数的图象交于点E、F，求线段EF．
（3）①在（2）条件下，如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，是否存在以点F，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
②若点P、Q分别在函数图象的两个分支上，请直接写出线段P、Q两点的最短距离（不需证明）；并利用图象，求当时x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵AO=2，BO=3，且C在第一象限，
∴C（3，2）；
（2）把C（3，2）代入y=（k≠0），得2=，
解得：k=6，
∴y=，
∵OD=2OA=4，OG=2OB=6，
∴D（0，4），G（6，0），
把y=4代入y=，得x=，
∴E（，4），
把x=6代入y=，得y=1，
∴F（6，1），
则由勾股定理得：EF==；
（3）①分两种情况，
（i）若以线段EF为平行四边形FEMN的一边，
∵四边形FEMN是平行四边形，
∴FE∥MN，FE=MN，
设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0），
将E和F的坐标代入得：，
解得：，
∴直线EF方程：y=-x+5，
∴FE∥MN，
∴设直线MN方程：y=-x+n，
令x=0，求得：y=n；令y=0，求得：x=n，
∴M（n，0），N（0，n），
在Rt△MNO中，OM=n，ON=n，MN=EF=，
由勾股定理得：OM²+ON²=MN²，即（n）²+n²=（）²，
解得：n=3或n=-3，
∴N（0，3）或N（0，-3）；
（ii）若以线段EF为平行四边形FEMN的对角线，
此时可求得点N（0，5）在直线EF：y=-x+5上，
∴点F，E，M，N四点在同一直线上，因而平行四边形FEMN不存在，
综上，满足条件的点N坐标为 （0，3）与 （0，-3）；
②将y=x代入y=中，得：x²=6，
解得：x=或-，
∴P（，），Q（-，-），
此时PQ的距离最短，最短距离PQ==，
根据图象，当≤x时，x的取值范围为：-≤x＜0或x≥．
分析：（1）由平面直角坐标系中C的位置，得到OA的长为点C的纵坐标，OB的长为点C的横坐标，根据点C在第一象限，写出C的坐标即可；
（2）将（1）求出的C坐标代入反比例解析式中，求出k的值，确定出反比例解析式，由折叠可得E的纵坐标等于2OA，F的横坐标等于2OB，将求出E的纵坐标代入反比例解析式中，求出E的横坐标，将F的横坐标代入反比例解析式中求出F的纵坐标，确定出E和F的坐标，利用两点间的距离公式即可求出EF的长；
（3）①分两种情况考虑：（i）若以线段EF为平行四边形FEMN的一边，由平行四边形的性质得到FE与MN平行且相等，设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0），将E和F的坐标代入，得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出直线EF的解析式，由两直线平行时斜率相等，得到直线MN解析式为y=kx+n，分别令x=0及y=0，求出对应的y与x的值，表示出M与N的坐标，由EF的长，根据MN=EF得出MN的长，在直角三角形MON中，由OM，ON，及MN的长，利用勾股定理列出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，即可确定出N的坐标；（ii）若以线段EF为平行四边形FEMN的对角线，此时可求得点N（0，5）在直线EF上，可得点F，E，M，N四点在同一直线上，因而平行四边形FEMN不存在，综上，得到满足题意的N的坐标；
②当P与Q的横纵坐标绝对值相等时，PQ的距离最小，令y=x，代入反比例解析式中求出x的值，即为y的值，确定出P与Q的坐标，即可求出OP与OQ的长，由OP+OQ即可求出P、Q最短距离PQ的长；由求出P与Q两点的横坐标及原点O的横坐标，将x分为4段：x＜-，-＜x＜0，0＜x＜，x＞，找出一次函数y=x在反比例函数图象上方时x的范围，即为所求x的范围．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合及分类讨论的思想，是中考常考的压轴题．