Question

【题目】如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，D为⊙O上一点．

（1）求证：∠P＝180°﹣2∠D；

（2）如图，PE∥BD交AD于点E，若DE＝2AE，tan∠OPE＝，⊙O的半径为2，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4

【解析】

（1）连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP＝∠OBP＝90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB＝2∠D，继而可求得结论．

（2）过点O作OG⊥AD，连接OB，OE，连接OA交PE于点F，由PE∥BD，可得△OPF∽△EFA，即可求得∠OPE＝∠OAD，从而可求得AG，即可求出AE

（1）证明：如图1，连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOB＝180°﹣∠AOB，

∵∠AOB＝2∠D，

∴∠P＝180°﹣2∠D；

（2）

如图2，过点O作OG⊥AD，连接OB，OE，连接OA交PE于点F

由（1）得，∠OPA＝90°﹣∠D

OB⊥PB；OA⊥PA

∴∠POA＝180°﹣90°﹣∠OPA＝∠D

又∵PE∥BD，

∴∠D＝∠PEA

∴∠PEA＝∠POA

∵∠PFO＝∠EFA

∴△OPF∽△EFA

∴∠OPE＝∠OAD

∴tan∠OAD＝tan∠OPE＝

∴OG＝AG

∴在△OAG中，由勾股定理得

AG2+OG2＝OA2，解得AG＝6

∴AD＝12

又∵DE＝2AE

∴AE＝AD＝×12＝4