Question

6．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、补角∠ACF，下列结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠DCF=∠BDC+∠ABD；④∠BDC=∠BAC，其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得出∠EAD=∠ABC，进而即可得出AD∥BC，①正确；②根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得出∠ADB=∠ABD，进而即可得出∠ACB=∠ABC=2∠ADB，②正确；③根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得出∠DCF=∠BDC+∠DBC=∠BDC+∠ABD，③正确；④根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得出∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BDC，进而即可得出∠BAC=2∠BDC，④错误．综上即可得出结论．

解答 解：①∵AD平分∠EAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠EAC=∠ABC，
∴AD∥BC，①正确；
②∵BD平分∠ABC，∠EAD=∠ABD+∠ADB，∠EAD=∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ACB=∠ABC=2∠ADB，②正确；
③∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DCF=∠BDC+∠DBC=∠BDC+∠ABD，③正确；
④∵CD平分∠ACF，∠ACF=∠ABC+∠BAC，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵∠DCF=∠DBC+∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BDC，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC=∠BDC，即∠BAC=2∠BDC，④错误．
综上所述：正确的结论有①②③．
故选C．

点评 本题考查了三角形外角的性质、角平分线以及平行线的判定，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．