Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB2＝∠PCB．

【小题1】求证：PC是⊙O的切线
【小题2】求证：BC＝AB；
【小题3】点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN ·MC的值．

Answer 1

【小题1】解：（1）∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO

又∵∠COB＝2∠A, ∴∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．(1分)
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°
∴∠PCB+∠OCB＝90°（２分），
即OC⊥CP，
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线． （3分）
【小题2】∵AC＝PC,∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P，（４分）
又∵∠COB＝∠A+∠ACO, ∠CBO＝∠P+∠PCB
∴∠COB＝∠CBO（５分）, ∴BC＝OC, ∴BC＝AB（6分）
【小题3】8
（3）8

解析（3）连接MA、MB
       点M是AB的中点，AM＝BM，
∴∠ACM＝∠BCM（7分）
而∠ACM＝∠ABM, ∴∠BCM＝∠ABM,而∠BMN＝∠BMC
∴△MBN～△MCB,
∴MN·MC＝BM.BM（8分）
又∵AB是⊙O的直径，AM＝BM
∴∠AMB＝90°，AM＝BM
∵AB＝4,BM＝（9分）
∴MN·MC＝BM²＝8（10分）