Question

如图，三个半径为r的等圆两两外切，且与△ABC的三边分别相切，求△ABC的边长．（结果保留π）

Answer 1

分析：连接顶点与圆心，作连心线，作过切点的半径，把问题转化到30°的直角三角形，矩形中解决．

解答：解：如图，连接O₁A，O₁O₂，O₂C，作O₁D⊥AC，O₂E⊥AC，垂足为D、E，
则D、E为直线AC与圆的切点，O₁O₂=DE；
因为三个圆为等圆，由切线长定理可知，AC=AB=BC，
在Rt△AO₁D中，O₁D=r，∠O₁AD=30°，
∴AD=

3

r，同理可得CE=AD=

3

r，DE=O₁O₂=2r，
∴AC=AD+DE+CE=

3

r+2r+

3

r=（2

3

+2）r；
即：△ABC的边长为(2

3

+2)r．

点评：本题考查了直线与圆，圆与圆相切的问题，关键是作连心线，过切点的半径，构造直角三角形，利用解直角三角形或者勾股定理的知识解题．